Paralelogramul



ABC este un triunghi isoscel dreptunghic în B, iar BCE este un triunghi echilateral. Calculaţi măsurile unghiurilor patrulaterului cu vârfurile în A, B, C şi E.



Fie ABC un triunghi, iar D∈(BC). Fie EAC şi FAB astfel încât DE||AB şi DF||AC. Ce fel de patrulater este AEDF?



Arătaţi că mijloacele laturilor unui patrulater convex reprezintă vârfurile unui paralelogram.



Fie ABC un triunghi iar M∈(BC). Fie N∈(AB) și P∈(AC) astfel încât MN||AC şi MP||AB. Aflaţi suma perimetrelor triunghiurilor NBM şi PCM ştiind că perimetrul lui ABC este 20 cm.



Patrulaterul convex ABCD are perimetrul 18 cm. Se ştie că AB=CD=4 cm şi AD=5 cm. Stabiliţi natura acestui patrulater.



Fie ABC un triunghi echilateral la care [AD] este înălţime. Fie E astfel încât triunghiul ADE să fie echilateral. Notăm {P}=(AC)∩(DE) şi mijlocul lui [AC] cu S. Stabiliți natura patrulaterului SEDB.



Se dă ABCD un paralelogram și [DE și [CE sunt bisectoarele unghiurilor ADC și DCB. Aflaţi natura triunghiului DEC. Dacă AD=10 cm şi EAB atunci aflați perimetrul paralelogramului.



Fie paralelogramul ABCD şi punctele M, N∈(AC) astfel încât AM=MN=NC. Arătaţi că patrulaterul DMBN este paralelogram.



Fie ABCD un paralelogram în care AB=AC=7 cm şi CB=4 cm. In interiorul sau se consideră triunghiurile dreptunghice isoscele ABM și AND cu bazele [BM] și respectiv [DN]. Calculați perimetrul triunghiului ANM.



Fie ABCD un parallelogram iar M(AB), N(DC) astfel incât ADMCBM. Stabiliți natura patrulaterului DMBN.



ABCD este un paralelogram în care AB=10 cm, AC=14 cm și BD=16 cm. Aflați perimetrul triunghiurilor AOB şi DOC, unde O este intersecția diagonalelor paralelogramului.



Fie DEFG un paralelogram. Bisectoarea unghiului GDE intersectează dreapta EF în M, iar a unghiului GFE intersectează dreapta GD în N. Dreptele GE și NM sunt congruente?



Fie ABC un triunghi în care [AM] este mediană. Fie D simetricul lui A față de M. Ce fel de patrulater este ABCD?



Fie ABCD paralelogram şi punctele M, N, P, Q aparţinând laturilor AB, BC, CD şi DA astfel încât AM=BN=CP=QD. Demonstraţi că MNPQ este paralelogram.



Fie ABCD un paralelogram cu m(∠A)90°, BMDC, DNAC , DNBC={Q } şi BMAD={P}. Arătaţi că AQCP este paralelogram.



ABCD este un paralelogram, iar O este punctul de intersecție al diagonalelor. O dreaptă ce trece prin O intersectează laturile opuse în M şi N. Comparaţi segmentele OM și ON.



Fie paralelogramul ABCD, [CE şi [DE bisectoarele unghiurilor C şi D ale paralelogramului. Determinați măsura unghiului DEC. Arătați că dacă E∈(AB) atunci AB=2BC.



In paralelogramul ABCD cu BDAD se notează cu M şi N mijloacele laturilor AB şi respectiv DC. Să se arate că BMDN este romb.



În paralelogramul ABCD, AB=7 dm, DB=12 dm, AO=5 dm (O este punctul de intersecție a diagonalelor). Calculați perimetrul triunghiului DOC.



În paralelogramul AMCD, m(∠CDB)=50°, m(∠DCB)=70°. Calculaţi măsurile unghiurilor paralelogramului.



In paralelogramul ABCD, ACBD=O, m(∠ODC)=50o, m(∠OCB)=25o, m(∠COB)=85o. Aflați măsurile unghiurilor paralelogramului.



Fie ABCD paralelogram, din vârfurile B şi D se duc perpendiculare pe diagonala AC (M, N ∈(AC) ) şi se noteaza cu M şi N picioarele acestora. Să se demonstreze că BMDN este paralelogram.



Fie paralelogramul ABCD cu O punctul de intersecție al diagonalelor şi fie M, N, P, Q mijloacele segmentelor (OA), (OB), (OC), (OD). Demonstrați că MNPQ este paralelogram.



Fie un paralelogram ABCD pentru care avem: m(∠A)=(2x+40)° şi m(∠B)=(5x)° , unde x este un numar natural. Aflaţi măsurile unghiurilor paralelogramului.



Fie ABCD dreptunghi şi O intersecția diagonalelor sale. Fie P piciorul perpendicularei duse din D pe AC. Dacă m(∠BOC)=60° atunci 4AP=AC.



Pe laturile AB şi AC ale triunghiului echilateral ABC se construiesc în exterior pătratele ABMN şi ACPQ. Fie T intersecția dintre NC şi BQ, iar P intersecția dintre NC şi BP.



Demonstrați: [NC]=[BQ]=[BP]; NC perpendicular pe BQ; BS=2TS.



ABCD este un paralelogram iar O este punctul de intersecție al diagonalelor. O dreaptă ce conține punctul O intersectează două laturi opuse ale paralelogramului în punctele E și F. Demonstrați că [OE]  [OF].



Fie ABCD paralelogram şi (AE, (BG, (CF şi (DH bisectoarele unghiurilor. Arătaţi că MNPQ este dreptunghi.

[image]



Fie paralelogramul ABCD iar [DE și [CE bisectoarele unghiurilor ∠ADC și respectiv ∠DCB. Aflați natura triunghiului DEC. Aflați perimetrul paralelogramului ABCD dacă AD=26 cm și EAB.



In paralelegramul ABCD, m(∠A<90°) se construiește BMDC și DNAB. Stiind că DNBC={Q} și BMAD={P}, Să se demonstreze că AQCP este paralelogram.



Fie M un punct ce aparține diagonalei BD în paralelogramul ABCD. Se duc MN||BC, N∈(DC), MP||AB, P∈(AD). Dacă AB=20 cm, BC=15 cm, iar MB/BD=1/5 calculați perimetrul MNDP. Rezolvați problema cu aceleași date, doar că M se află pe prelungirea [BD].



Fie ABCD paralelogram cu m(∠A)=60°, BD perpendicular BC. Să se determine perimetrul paralelogramului știind că AB=6 cm. Dacă M mijlocul lui AB să se demonstreze că MC=DB.



Pe laturile AB şi AC ale triunghiului echilateral ABC se construiesc în afară pătratele ABMN şi BCPQ. Să se arate că:

[image]

  1. AQ=MC, AQMC;

  2. Dacă AQMC={E} şi F∈(AC) astfel încât AF=FC arătaţi că punctele B, E, F sunt coliniare.



Se consideră paralelogramul ABCD, punctele E și F aparțin lui AC, G și H aparțin lui DB astfel incât EA/EC=FA/FC=GD/GB=HD/HB=1/3, EAC, GDB.

  1. Aratați că E, F, H, G sunt vârfurile unui trapez.

  2. Dacă AD=a calculați lungimile bazelor trapezului EFHG.



Fie ABCD un paralelogram şi M, N, P, Q mijloacele laturilor AB, BC, CD și DA. ANDM={H}, ANBP ={E}, CQDM={G}, CQBP={F}. Arătaţi că:

  1. EFGH paralelogram.

  2. Aria ABCD= 5S, unde S= aria EFGH.



In triunghiul ABC (m(∠A)=90°), M este mijlocul segmentului BC, D este un punct oarecare între M şi C, N este mijlocul segmentului AD, iar P este simetricul lui M fată de N. Aratați că:

  1. AMDP –paralelogram.

  2. Triunghiul RDB este isoscel.

  3. Triunghiurile APR şi APQ sunt isoscele.



ABCD este paralelogram, iar (BE, (BF, (DE şi (DF sunt bisectoarele unghiurilor ∠ABD, ∠DBC, ∠ADB, respectiv ∠BDC. Demonstrați că DEBF este parallelogram.



Patrulaterele ABCD și ABEF sunt paralelograme. Demonstraţi că EFDC este parallelogram.



Fie ABCD un paralelogram. Prin vârfurile lui se duc patru drepte paralele d1, d2, d3 și respectiv d4. Pe d1, d2 și d3, de aceeași parte a planului se consideră punctele A, B şi respectiv C astfel încât AA= 8 cm, BB=12 cm, CC=18 cm. Aflaţi poziţia unui punct D pe d4 astfel încât punctele A, B, C, D să fie coplanare.



Demonstraţi că mijloacele laturilor unui patrulater (convex sau concav) sunt vârfurile unui paralelogram.



In triunghiul ABC, E∈(AB) şi F∈(AC) astfel încât EF||BC şi EF = 1/2*BC. Demostraţi că dacă D este mijlocul laturii [BC] atunci BDFE este paralelogram. Demonstrați că E este mijlocul laturii [AB].



Un romb are un unghi cu măsura de 120° şi diagonala mică de 6 cm. Se cere perimetrul rombului.



Fie M şi N mijlocele laturilor (AB) şi (DC) ale rombului ABCD care are măsura unghiului A de 60°. Arătaţi că BMDN este dreptunghi.



Pe laturile unui pătrat ABCD se iau punctele M∈(AB), N∈(BC), P∈(CD), Q∈(DA) astfel încât AM=BN=CP=DQ. Să se stabilească natura patrulaterului MNPQ.



In paralelogramul ABCD cu AB=10 cm, BC=5cm, M și N sunt mijloacele laturilor [AB], respectiv [CD]. Aratați că AN perpendicular pe DM.



Fie ABCD un paralelogram și d1, d2, d3, d4 patru drepte paralele duse prin A, B, C respectiv D. Un plan α taie d1, d2, d3, d4 in A`, B`, C` respectiv D`. Aratați că A`B`C`D` este paralelogram. Arataţi că AA`+CC`=BB`+DD`.



In paralelogramul ABCD cu BD=BC=3 cm, M este mijlocul laturii [BC], iar {E}=DMBC. Aflați perimetrul patrulaterului DBCE.



In paralelogramul MNPQ, MRPQ, RPQ şi MSNP, SNP. Demonstrează ca MNPQ este romb dacă şi numai dacă MR=MS.



Fie paralelogramul ABCD, în care AB>BC şi punctul M∈(AB) astfel încât MB=BC. O dreaptă care trece prin punctul D intersectează pe (MB) în punctul E şi pe (MC) în punctul H, BHAD={F}, DHCB={L}. Să se demonstreze că:

  1. [image]

  2. [image]

  3. AF=ME



Fie ABCD un paralelogram (AB>BC), M∈(AB), N∈(DC) astfel încât MB = DN = BC, BRMC, DPAN, R∈(MC), P∈(AN). Arătaţi că:

  1. Mijloacele laturilor (BC) şi (AD) şi punctele P şi R sunt coliniare

  2. MN, PR şi BD sunt drepte concurente



Fie ABCD un parallelogram şi MAB PCD astfel încât (AM)=(CP). Din punctele M si P se construiesc respective perpendicularele QM pe AB şi NP pe CD, QAD NBC.

  1. Arataţi că patrulaterul MNPQ este parallelogram.

  2. Care trebuie sA fie poziţia punctelor M şi P astfel încât MNPQ să fie dreptunghi?



Fie paralelogramul ABCD cu ACBD = {O}. Perpendiculara în A pe AB intersectează perpendiculara în B pe BC în M, iar perpendiculara în C pe CD intersectează perpendiculara în D pe DA în N.

  1. Demonstraţi că punctele M, O, N sunt coliniare.

  2. Dacă m(∠DAB) > 90° , arataţi că MN > BD.



Laturile (AB) şi (AD) ale paralelogramului ABCD se prelungesc dincolo de B şi de D

cu segmentele [BE] ≡ [AD] şi [DF] ≡ [AB]. Fie BFDC = {M} şi DEBC = {N}.

Demonstraţi că:

  1. punctele E, C, F sunt coliniare.

  2. [CM] ≡ [CN].

  3. MN || EF.



Fie ABCD un paralelogram în care m(∠BAC) = 90° , m(∠ABD) = 60° , ACBD = {O} şi M mijlocul lui [OB]. Dacă AM intersectează pe DC în Q şi pe bisectoarea unghiului ∠BDC în P, atunci arataţi că:

  1. 2 MP = DM

  2. 9 SDOC = 2 SQMD



Fiind date paralelogramul ABCD, m(∠BAD)<90º şi punctele MCB, QCD astfel încât m(∠DAQ)=m(∠DAC),m(∠BAM)=m(∠BAC), şi AQ=AM să se demonstreze că CQ=CM



Fie ABCD un paralelogram. Bisectoarea unghiului A intersectează diagonala BD în M, iar bisectoarea unghiului D intersectează diagonala AC în N. Demonstraţi că MN este paralelă cu AD.



In paralelogramul ABCD se construieste [AE bisectoarea unghiului BAD (ECD), DFAE, FAB, [EP bisectoarea unghiului CEF, PAB, iar AB=3BC.

  1. Arataţi că ADEF este romb.

  2. Aratati ca CPDF.

  3. Daca AEDF={N}, iar PNEF={M}, să se afle cea mai mica valoare a lui ADN astfel încât [image]*.



Se dă paralelogramul ABCD. Dreapta d intersectează dreptele AB, BC, CD şi DA, respectiv în punctele M, N, P şi Q.

  1. Arătaţi că [image]

  2. Dacă O este centrul de simetrie al paralelogramului şi QM=MP=PN, aflaţi cât la sută din aria paralelogramului ABCD reprezintă aria triunghiului DOM.



Se consideră paralelogramul ABCD, iar M şi N mijloacele laturilor (AB), respectiv (CD).Dreapta BN intersectează dreapta AD în punctul E.Să se arate că:

  1. (DE) ≡ (BC).

  2. Punctele E, P şi M sunt coliniare, unde {P}=BDAN.

  3. PR||CD ,unde {R}=ACBE.